110學測數學單選第3題詳解

1. 設 $\triangle ABC$ 的外接圓 $\Gamma$ 的圓心為 $O$。 2. 因為 $\overline{PB}$ 與 $\overline{PC}$ 均與圓 $\Gamma$ 相切，且 $\angle BPC=\theta$，所以四邊形 $PBOC$ 中 $\angle BOC=180^\circ-\theta$。 3. 因為圓周角 $\angle A$ 對弧 $\overset{\large\frown}{BC}$，圓心角 $\angle BOC$ 亦對同弧，所以 $\angle A=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{180^\circ-\theta}{2}=90^\circ-\frac{\theta}{2}$。 4. 因為 $\cos A=\cos\left(90^\circ-\frac{\theta}{2}\right)=\sin\frac{\theta}{2}$。 故選 $(3)$。