109 學測數學第 20 題

Question

設計師為天文館設計以不鏽鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧 $QRT$ 是一個以 $O$ 點為圓心、$\overline{QT}$ 為直徑的半圓，$\overline{QT}=2\sqrt{3}$。圓弧 $QST$ 的圓心在 $P$ 點，$\overline{PQ}=\overline{PT}=2$。圓弧 $QRT$ 與圓弧 $QST$ 所圍出的灰色區域 $QRTSQ$ 即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為 $a\pi+\sqrt{b}$，其中 $\pi$ 為圓周率，$a$ 為有理數，$b$ 為整數，則 $a$ = ____（化為最簡分數），$b$ = ____。

Accepted Answer

答案：$a=\dfrac{1}{6},\ b=3$
半圓 $QRT$ 的半徑為 $\sqrt{3}$，面積為 $\dfrac{3\pi}{2}$。圓心在 $P$、半徑為 $2$ 的圓中，弦 $QT=2\sqrt{3}$，故 $2\sqrt{3}=2\cdot 2\sin\dfrac{	heta}{2}$，得 $	heta=120^\circ$。弓形 $QST$ 與弦 $QT$ 圍成的面積為 $\dfrac{120}{360}\pi(2)^2-\dfrac{1}{2}\cdot 2^2\sin120^\circ=\dfrac{4\pi}{3}-\sqrt{3}$。灰色面積為 $\dfrac{3\pi}{2}-\left(\dfrac{4\pi…