109學測數學選填第20題詳解

1. 半圓 $QRT$ 以 $O$ 為圓心，$\overline{QT}=2\sqrt{3}$ 為直徑，所以半徑 $r_O=\sqrt{3}$。 半圓面積 $=\frac{1}{2}\pi r_O^2=\frac{1}{2}\pi\times 3=\frac{3\pi}{2}$。 2. 圓弧 $QST$ 的圓心在 $P$，半徑 $r_P=\overline{PQ}=2$。$\overline{QT}=2\sqrt{3}$ 為此圓的一弦。 3. 在圓 $P$ 中，弦長 $c=2\sqrt{3}$，半徑 $R=2$。由弦長公式 $c=2R\sin\frac{\theta}{2}$（其中 $\theta$ 為弦所對的圓心角），得 $2\sqrt{3}=2\times 2\times\sin\frac{\theta}{2}$，即 $\sin\frac{\theta}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。因為 $\frac{\theta}{2}$ 為銳角，所以 $\frac{\theta}{2}=60^\circ$，得 $\theta=120^\circ$。 4. 弓形 $QST$（弦 $\overline{QT}$ 與圓弧 $QST$ 圍成的區域）的面積為： 扇形 $PQST$ 面積 $-$ $\triangle PQT$ 面積 $$\begin{aligned} &= \frac{120^\circ}{360^\circ}\times\pi\times 2^2-\frac{1}{2}\times 2\times 2\times\sin 120^\circ \\[4pt] &= \frac{\pi\times 4}{3}-\frac{1}{2}\times 4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3} \end{aligned}$$。 5. 灰色區域 $QRTSQ$ 的面積 $=$ 半圓 $QRT$ 面積 $-$ 弓形 $QST$ 面積： $\frac{3\pi}{2}-\left(\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}\right)=\frac{9\pi-8\pi}{6}+\sqrt{3}=\frac{\pi}{6}+\sqrt{3}$。 6. 與 $a\pi+\sqrt{b}$ 比較係數：因為 $\frac{\pi}{6}+\sqrt{3}=\frac{1}{6}\pi+\sqrt{3}$，所以 $a=\frac{1}{6}$，$b=3$。 故填 $a=\frac{1}{6},\;b=3$。