109指考數學乙非選第11題詳解

(1) 1. 因為 $P_n = P_0(1+r)^n$，所以取常用對數得 $\log P_n = \log P_0 + n\log(1+r)$。 2. 因為 $A = \frac{\log P_5 - \log P_2}{3}$，所以： $$A = \dfrac{[\log P_0 + 5\log(1+r)] - [\log P_0 + 2\log(1+r)]}{3} = \dfrac{3\log(1+r)}{3} = \log(1+r)$$ 3. 因為 $B = \frac{\log P_8 - \log P_6}{2}$，所以： $$B = \dfrac{[\log P_0 + 8\log(1+r)] - [\log P_0 + 6\log(1+r)]}{2} = \dfrac{2\log(1+r)}{2} = \log(1+r)$$ 4. 因為 $A = \log(1+r)$ 且 $B = \log(1+r)$，所以 $A = B$。 (2) 1. 因為每隔 $16$ 天感染人數增加為 $10$ 倍，所以 $\frac{P_{n+16}}{P_n} = (1+r)^{16} = 10$。 2. 因為欲求 $P_3P_2P_3$ 的乘積（即 $P_{k+3}P_{k+2}P_{k+3}$ 相對於前三天之倍數），所以： $$(1+r)^3 \cdot (1+r)^2 \cdot (1+r)^3 = (1+r)^8$$ 3. 因為 $(1+r)^{16} = 10$，所以 $(1+r)^8 = \sqrt{10}$。 故 $P_3P_2P_3$ 的乘積為 $\sqrt{10}$。 (3) 1. 因為 $\frac{\log P_{20} - \log P_{17}}{3} = \log(1+r)$（同 (1) 之推導），所以： $$\log(1+r) = \dfrac{\log 10}{16} = \dfrac{1}{16}$$ 故所求值為 $\frac{1}{16}$。