(1) 點 $A$ 在 $L_1$ 上，點 $B$ 在 $L_2$ 上。因為 $\overline{AB} = 5$，恰等於兩平行線 $L_1, L_2$ 之間的距離，這表示線段 $\overline{AB}$ 垂直於這兩條平行線。 因為 $L_1, L_2$ 的斜率為 $2$，所以直線 $AB$ 的斜率為 $-\frac{1}{2}$。 (2) 設向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (t, -\frac{1}{2}t)$。其長度為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}| = \sqrt{t^2 + (-\frac{1}{2}t)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}|t| = 5$，解得 $|t| = 2\sqrt{5}$。 所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (2\sqrt{5}, -\sqrt{5})$ 或 $(-2\sqrt{5}, \sqrt{5})$。 若 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (2\sqrt{5}, -\sqrt{5})$，由 $A(2,-1)$ 可得 $B(2+2\sqrt{5}, -1-\sqrt{5})$，在第四象限，不合題意。 若 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (-2\sqrt{5}, \sqrt{5})$，由 $A(2,-1)$ 可得 $B(2-2\sqrt{5}, -1+\sqrt{5})$。 因為 $\sqrt{5} \approx 2.236$，所以 $x_B = 2 - 4.472 < 0$，$y_B = -1 + 2.236 > 0$，此點在第二象限，符合題意。 故 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (-2\sqrt{5}, \sqrt{5})$。 (3) 點 $C$ 在 $L_2$ 上，向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = \overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \overset{\large\rightharpoonup}{BC}$。 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \perp L_2$ 且 $\overset{\large\rightharpoonup}{BC}$ 沿著 $L_2$ 方向，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \perp \overset{\large\rightharpoonup}{BC}$，即 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{BC} = 0$。 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} = \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot (\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \overset{\large\rightharpoonup}{BC}) = |\overset{\large\rightharpoonup}{AB}|^2 + \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{BC} = 5^2 + 0 = 25$。 (4) $L_3$ 通過 $A, C$，其斜率為 $3$。 設 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = (k, 3k)$，代入 (3) 的內積結果： $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} = (-2\sqrt{5})(k) + (\sqrt{5})(3k) = -2\sqrt{5}k + 3\sqrt{5}k = \sqrt{5}k = 25$。 解得 $k = \frac{25}{\sqrt{5}} = 5\sqrt{5}$。 因此向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = (5\sqrt{5}, 15\sqrt{5})$。