109指考數學乙非選第12題詳解

$(1)$ 1. 因為 $L_1$ 與 $L_2$ 平行且斜率皆為 $2$，兩線距離為 $5$。 因為 $A$ 在 $L_1$ 上、$B$ 在 $L_2$ 上，且 $\overline{AB} = 5$ 恰等於兩線距離，所以 $\overline{AB}$ 必垂直於 $L_1$ 與 $L_2$。 2. 因為 $L_1$ 的斜率為 $2$，且 $\overline{AB} \perp L_1$，所以 $\overline{AB}$ 的斜率為 $-\frac{1}{2}$。 故直線 $AB$ 的斜率為 $-\frac{1}{2}$。 $(2)$ 1. 因為 $\overline{AB}$ 的斜率為 $-\frac{1}{2}$，所以可設 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (t,\; -\frac{1}{2}t)$，其中 $t$ 為實數。 2. 因為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}| = 5$，所以： $$\sqrt{t^2 + \left(-\frac{1}{2}t\right)^2} = 5 \implies \frac{\sqrt{5}}{2}|t| = 5 \implies |t| = 2\sqrt{5}$$ 因此 $t = \pm 2\sqrt{5}$。 3. 因為 $A(2,-1)$ 在第四象限，$B$ 在第二象限，所以 $B$ 的 $x$ 坐標小於 $A$ 的 $x$ 坐標，即 $t = x_B - x_A < 0$，故取 $t = -2\sqrt{5}$。 因此 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (-2\sqrt{5},\; \sqrt{5})$。 故 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (-2\sqrt{5},\; \sqrt{5})$。 $(3)$ 1. 因為 $\overline{AB} \perp L_2$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \perp \overset{\large\rightharpoonup}{BC}$，即 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{BC} = 0$。 2. 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = \overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \overset{\large\rightharpoonup}{BC}$，所以： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} = \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot (\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \overset{\large\rightharpoonup}{BC}) = |\overset{\large\rightharpoonup}{AB}|^2 + \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{BC}$$ 3. 因為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}|^2 = 25$ 且 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{BC} = 0$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} = 25$。 故 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} = 25$。 $(4)$ 1. 因為 $A(2,-1)$ 在 $L_3$ 上且 $L_3$ 斜率為 $3$，所以 $L_3$ 方程式為 $y + 1 = 3(x - 2)$，即 $y = 3x - 7$。 2. 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (-2\sqrt{5},\; \sqrt{5})$，所以 $B = (2-2\sqrt{5},\; -1+\sqrt{5})$。 因為 $L_2$ 斜率為 $2$ 且通過 $B$，所以 $L_2$ 方程式為 $y - (-1+\sqrt{5}) = 2[x - (2-2\sqrt{5})]$，化簡得 $y = 2x - 5 + 5\sqrt{5}$。 3. 因為 $C$ 為 $L_2$ 與 $L_3$ 的交點，解聯立： $$2x - 5 + 5\sqrt{5} = 3x - 7 \implies x = 2 + 5\sqrt{5}$$ 代入 $L_3$ 得 $y = 3(2 + 5\sqrt{5}) - 7 = -1 + 15\sqrt{5}$。 故 $C = (2 + 5\sqrt{5},\; -1 + 15\sqrt{5})$。 4. 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = C - A = (5\sqrt{5},\; 15\sqrt{5})$。 故 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = (5\sqrt{5},\; 15\sqrt{5})$。