109指考數學甲補考單選第1題詳解

📅 109 年 📝 指考數學甲補考第 1 題題型：單選課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：$4$

本題考點：數列極限、微積分、代入驗證

考慮兩個函數 $f(x) = \begin{cases} 1+x, & x \le 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}$、$g(x) = \begin{cases} 1, & x \le 1 \\ 3-x, & x > 1 \end{cases}$。關於函數的極限，試選出正確的選項。

$\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ 存在、$\lim\limits_{x \to 1} g(x)$ 存在、$\lim\limits_{x \to 1} (f(x) + g(x))$ 存在
$\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ 存在、$\lim\limits_{x \to 1} g(x)$ 不存在、$\lim\limits_{x \to 1} (f(x) + g(x))$ 不存在
$\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ 不存在、$\lim\limits_{x \to 1} g(x)$ 存在、$\lim\limits_{x \to 1} (f(x) + g(x))$ 不存在
$\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ 不存在、$\lim\limits_{x \to 1} g(x)$ 不存在、$\lim\limits_{x \to 1} (f(x) + g(x))$ 存在
$\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ 不存在、$\lim\limits_{x \to 1} g(x)$ 不存在、$\lim\limits_{x \to 1} (f(x) + g(x))$ 不存在

數列極限微積分

解題手法代入驗證〔AI 推測〕

答案

$4$

詳解

1. 計算 $f(x)$ 在 $x=1$ 的左右極限：因為 $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = 1+1 = 2$，而 $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 1$，左右極限不相等，所以 $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ 不存在。 2. 計算 $g(x)$ 在 $x=1$ 的左右極限：因為 $\lim\limits_{x \to 1^-} g(x) = 1$，而 $\lim\limits_{x \to 1^+} g(x) = 3-1 = 2$，左右極限不相等，所以 $\lim\limits_{x \to 1} g(x)$ 不存在。 3. 計算 $f(x)+g(x)$ 在 $x=1$ 的左右極限：因為 $\lim\limits_{x \to 1^-} (f(x)+g(x)) = 2+1 = 3$，而 $\lim\limits_{x \to 1^+} (f(x)+g(x)) = 1+2 = 3$，左右極限相等，所以 $\lim\limits_{x \to 1} (f(x)+g(x))$ 存在。故選 $(4)$。

題目來源：民國109年指考數學甲補考第1題（來源PDF第2頁）

資料版本：2026-07-21（commit bde62541）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈109指考數學甲補考單選第1題詳解〉，資料版本 2026-07-21，https://twmath.com/questions/109_17A_q01

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