110指考數學甲單選第3題詳解

1. 因為 $\sum\limits_{k=1}^{2n}k^9$ 是 $n$ 的 $10$ 次多項式，最高次項為 $\frac{(2n)^{10}}{10}$，加上次數小於 $10$ 的低次項。 2. 當 $n\to\infty$ 時，低次項除以 $n^{10}$ 後趨近於 $0$，所以 $$\underset{n\to\infty}{\lim}\dfrac{10^{10}}{n^{10}}\sum\limits_{k=1}^{2n}k^9=\underset{n\to\infty}{\lim}\dfrac{10^{10}}{n^{10}}\cdot\dfrac{(2n)^{10}}{10}=\dfrac{10^{10}\cdot2^{10}}{10}=10^9\times2^{10}$$ 故選 $(4)$。