111學測數學A多選第10題詳解

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+3$，$g(x)=f(-x)-3$。 計算 $g(x)$： $$g(x)=a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)+3-3=-ax^3+bx^2-cx$$ 因為三次函數 $Ax^3+Bx^2+Cx+D$ 的對稱中心橫坐標為 $-\frac{B}{3A}$，而 $y=g(x)$ 的對稱中心為 $(1,0)$，所以 $$-\frac{b}{3(-a)}=\frac{b}{3a}=1\;\implies\; b=3a.$$ 因為對稱中心的 $y$ 坐標為 $g(1)=0$，所以 $$g(1)=-a+b-c=-a+3a-c=2a-c=0\;\implies\; c=2a.$$ 因此 $g(x)=-ax^3+3ax^2-2ax=-a(x^3-3x^2+2x)$。又 $g(-1)<0$： $$g(-1)=-a(-1)^3+3a(-1)^2-2a(-1)=a+3a+2a=6a<0\;\implies\; a<0.$$ 因為 $a<0$，所以 $b=3a<0$，$c=2a<0$。將 $g(x)$ 因式分解： $$g(x)=-a(x^3-3x^2+2x)=-ax(x-1)(x-2)$$ 因為 $a<0$，所以 $-a>0$。 逐一分析各選項： 選項 $(1)$：$g(x)=0$ 有三相異整數根。由因式分解 $g(x)=-ax(x-1)(x-2)$，得三根為 $x=0,1,2$，皆為相異整數。$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：$a<0$。由 $g(-1)=6a<0$ 已直接得 $a<0$。$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：$y=f(x)$ 圖形的對稱中心為 $(-1,-3)$。$g(x)$ 的對稱中心在 $(1,0)$，即 $g(1+t)+g(1-t)=0$。由 $f(x)=g(-x)+3$，計算 $f(-1+t)+f(-1-t)=g(1-t)+3+g(1+t)+3=6$，因此 $f$ 的對稱中心為 $(-1,3)$，而非 $(-1,-3)$。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：$f(100)<0$。$f(100)=a\cdot 100^3+3a\cdot 100^2+2a\cdot 100+3=1{,}030{,}200a+3$。因為只知 $a<0$ 但 $a$ 可能非常接近 $0$（例如 $a=-10^{-6}$），此時 $f(100)$ 的值約為 $1.97>0$，所以 $f(100)<0$ 不一定成立。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：$y=f(x)$ 的圖形在點 $(-1,f(-1))$ 附近會近似於一條斜率為 $a$ 的直線。$f'(x)=3ax^2+6ax+2a$，$f'(-1)=3a-6a+2a=-a\neq a$（因為 $a<0$，$-a>0$）。切線斜率為 $-a$ 而非 $a$。$(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(2)$。