111分科測驗數學甲單選第1題詳解

因為 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 是首項 $10$、公比 $10$ 的等比數列， 所以 $a_n=10^n$。 因此 $$b=\sum_{n=1}^{3}\log_{a_n}a_{n+1} = \log_{10}(10^2)+\log_{10^2}(10^3)+\log_{10^3}(10^4) = 2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3} = \frac{12+9+8}{6}= \frac{29}{6}.$$ 因為 $\frac{29}{6}=4.833\ldots$，所以 $4<b\le5$。 檢驗各選項： $(1)$ $2<b\le3$：$\frac{29}{6}>3$，錯誤。 $(2)$ $3<b\le4$：$\frac{29}{6}>4$，錯誤。 $(3)$ $4<b\le5$：$\frac{29}{6}$ 在此區間內，正確。 $(4)$ $5<b\le6$：$\frac{29}{6}<5$，錯誤。 $(5)$ $6<b\le7$：$\frac{29}{6}<6$，錯誤。 故選 $(3)$。