113學測數學A多選第8題詳解

$T_n$ 的三邊為 $n,n+1,n+2$，周長為 $3n+3$。由海龍公式，面積平方為 $\frac{(3n+3)(n+3)(n+1)(n-1)}{16}$。最大邊 $n+2$ 所對的最大角 $C$ 滿足 $\cos C=\frac{n^2+(n+1)^2-(n+2)^2}{2n(n+1)}=\frac{n-3}{2n}$。 選項 $(1)$：$n=2$ 時 $\cos C=\frac{-1}{4}<0$，因為最大角為鈍角，所以 $T_2$ 不是銳角三角形。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：周長為 $3n+3$，因為相鄰兩項差恆為 $3$，所以成等差數列。$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：面積平方為 $\frac{3(n+1)^2(n+3)(n-1)}{16}$，因為對 $n\ge2$ 為遞增函數，所以 $(3)$ 正確。 選項 $(4)$：$T_5$ 三邊為 $5,6,7$，三高與 $\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7}$ 成比例。因為 $\frac{1}{6}-\frac{1}{5}\neq\frac{1}{7}-\frac{1}{6}$，不成等差，所以 $(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：$\cos C=\frac{n-3}{2n}$，$n=2$ 時為 $-\frac{1}{4}$，$n=3$ 時為 $0$。因為餘弦值愈大角度愈小，所以 $T_3$ 最大角小於 $T_2$。$(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(3)$。