107學測數學選填第15題詳解

因 $\overline{BP}$ 為圓 $\Gamma$ 的切線，故 $\overline{AP} \perp \overline{BP}$，$\Delta PAB$ 為以 $\overline{AB}$ 為斜邊的直角三角形。 設 $\overline{AP} = r$，則 $\overline{BP} = \sqrt{5^2 - r^2} = \sqrt{25 - r^2}$。 $\Delta PAB$ 之面積 $A = \dfrac{1}{2} r \sqrt{25 - r^2} = \dfrac{1}{2} \sqrt{r^2(25 - r^2)}$。 由算平不等式知，當 $r^2 = 25 - r^2$ 即 $r^2 = \dfrac{25}{2}$ 時，$r^2(25-r^2)$ 有最大值 $\left( \dfrac{25}{2} \right)^2$。 此時面積最大值為 $\dfrac{1}{2} \sqrt{\left( \dfrac{25}{2} \right)^2} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{25}{2} = \dfrac{25}{4}$。