113學測數學A選填第14題詳解

因為 $f(x)$ 除以 $x^2-2x+3$ 的餘式為 $x+1$，可寫 $f(x)=(x^2-2x+3)Q_1(x)+(x+1)$。兩邊同乘 $x$： $$xf(x)=x(x^2-2x+3)Q_1(x)+x(x+1)$$ $x(x+1)=x^2+x$。計算 $x^2+x$ 除以 $x^2-2x+3$： $$x^2+x=(x^2-2x+3)\cdot 1+(3x-3)$$ 所以 $xf(x)$ 除以 $x^2-2x+3$ 的餘式為 $3x-3$。 $g(x)$ 除以 $x^2-2x+3$ 的餘式為 $x-3$，所以 $ag(x)$ 的餘式為 $a(x-3)$。 $h(x)$ 除以 $x^2-2x+3$ 的餘式為 $-2$，所以 $bh(x)$ 的餘式為 $-2b$。 因此 $xf(x)+ag(x)+bh(x)$ 除以 $x^2-2x+3$ 的總餘式為： $$(3x-3)+a(x-3)+(-2b)=(3+a)x+(-3-3a-2b)$$ 整除表示餘式為零多項式，所以兩係數皆為 $0$： $$\begin{cases} 3+a=0\\[2pt] -3-3a-2b=0 \end{cases}$$ 由第一式得 $a=-3$，代入第二式：$-3-3(-3)-2b=0$，即 $-3+9-2b=0$，得 $b=3$。 故 $a=-3$、$b=3$。