113 學測數學A 第 20 題

Question

承 $19$ 題，已知點 $P$ 在平面 $E$ 上且 $b=0$。試求 $c$ 的最大可能範圍，並求線段 $\overline{OP}$ 的最小可能長度。（非選擇題，$8$ 分）

Accepted Answer

答案：$2-2\sqrt{3}\le c\le 2+2\sqrt{3}$；$\overline{OP}$ 最小為 $4(\sqrt{3}-1)$
因 $P$ 在 $E:x-z=4$ 且 $b=0$，故 $a-c=4$，即 $a=c+4$。由第 $19$ 題，$(c+4)^2\ge 3c^2$，化簡得 $c^2-4c-8\le 0$，所以 $2-2\sqrt{3}\le c\le 2+2\sqrt{3}$。又 $OP^2=a^2+c^2=(c+4)^2+c^2$，在上述區間中最小值發生於 $c=2-2\sqrt{3}$，此時 $OP^2=64-32\sqrt{3}$，故 $OP$ 的最小可能長度為 $4(\sqrt{3}-1)$。