113學測數學A非選第19題詳解

1. 因為 $\theta\le\frac{\pi}{6}$ 且餘弦在 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 之間遞減，所以 $$\cos\theta\ge\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$ 2. 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}=(a,b,c)$，由夾角公式得 $$\cos\theta=\dfrac{(a,b,c)\cdot(1,0,0)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\times 1}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$ 3. 因為 $\cos\theta\ge\frac{\sqrt{3}}{2}>0$，兩邊都是非負數，所以平方後不等式方向不變： $$\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{3}{4}.$$ 4. 因為分母 $a^2+b^2+c^2>0$，兩邊同乘 $4\left(a^2+b^2+c^2\right)$，所以 $$4a^2\ge 3a^2+3b^2+3c^2\implies a^2\ge 3\left(b^2+c^2\right).$$ 因此實數 $a$、$b$、$c$ 滿足 $a^2\ge 3(b^2+c^2)$，得證。