113 學測數學A 第 19 題

Question

已知空間中有一點 $P(a,b,c)$ 滿足向量 $\overset{\largeightharpoonup}{OP}$ 與向量 $(1,0,0)$ 的夾角 $	heta\le\dfrac{\pi}{6}$。試說明實數 $a,b,c$ 滿足不等式 $a^2\ge 3(b^2+c^2)$。（非選擇題，$4$ 分）

Accepted Answer

答案：$a^2\ge 3(b^2+c^2)$
因 $	heta\le\dfrac{\pi}{6}$，所以 $\cos	heta\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。又 $\cos	heta=\dfrac{(a,b,c)\cdot(1,0,0)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$。平方得 $\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{3}{4}$，整理得 $a^2\ge 3(b^2+c^2)$。