因為平面幾何向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 互相垂直，所以其內積為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v} = 0$$ 我們已知 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} - \overset{\large\rightharpoonup}{v} = (4, 7)$。將等號兩邊取長度的平方，可得： $$\left| \overset{\large\rightharpoonup}{u} - \overset{\large\rightharpoonup}{v} \right|^2 = \left| (4, 7) \right|^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65$$ 利用向量長度展開性質： $$\left| \overset{\large\rightharpoonup}{u} - \overset{\large\rightharpoonup}{v} \right|^2 = \left|\overset{\large\rightharpoonup}{u}\right|^2 - 2\left(\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v}\right) + \left|\overset{\large\rightharpoonup}{v}\right|^2 = 65$$ 代入已知條件 $\left|\overset{\large\rightharpoonup}{u}\right| = 6$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v} = 0$： $$6^2 - 2(0) + \left|\overset{\large\rightharpoonup}{v}\right|^2 = 65$$ $$36 + \left|\overset{\large\rightharpoonup}{v}\right|^2 = 65 \implies \left|\overset{\large\rightharpoonup}{v}\right|^2 = 29$$ 因為向量長度為正，所以 $\left|\overset{\large\rightharpoonup}{v}\right| = \sqrt{29}$。 原題在填答區印有根號，表示為 $\sqrt{\Box\Box}$，故候選人劃記的數值答案為 $29$。 故填 $29$。