設自然與社會兩科的分數分別為 $x$ 與 $y$。五科的分數為 $75, 80, 85, x, y$。 **條件 1：五科平均數 $\mu \ge 80$** $$\mu = \dfrac{75 + 80 + 85 + x + y}{5} = \dfrac{240 + x + y}{5} \ge 80 \implies x + y \ge 160$$ **條件 2：標準差 $\sigma \le 5$** $$\sigma^2 = \dfrac{(75-\mu)^2 + (80-\mu)^2 + (85-\mu)^2 + (x-\mu)^2 + (y-\mu)^2}{5} \le 25$$ $$\implies (75-\mu)^2 + (80-\mu)^2 + (85-\mu)^2 + (x-\mu)^2 + (y-\mu)^2 \le 125$$ 我們來逐一檢查各選項： * **選項 $(1)$：** $x = 75, y = 80$。此時兩科和 $x + y = 155 < 160$，平均數低於 $80$。不合。 * **選項 $(2)$：** $x = 80, y = 80$。此時 $\mu = 80 \ge 80$。標準差平方為： $$\sigma^2 = \dfrac{(75-80)^2 + (80-80)^2 + (85-80)^2 + (80-80)^2 + (80-80)^2}{5} = \dfrac{25 + 0 + 25 + 0 + 0}{5} = 10 \le 25$$ 標準差 $\sigma = \sqrt{10} \le 5$。符合。 * **選項 $(3)$：** 自然與社會的平均為 $85$ $\implies x + y = 170$。此時 $\mu = \dfrac{240 + 170}{5} = 82 \ge 80$。 但若兩科分數差距極大，如 $x = 100, y = 70$（平均仍為 $85$），標準差平方為： $$\sigma^2 = \dfrac{(75-82)^2 + (80-82)^2 + (85-82)^2 + (100-82)^2 + (70-82)^2}{5} = \dfrac{49 + 4 + 9 + 324 + 144}{5} = \dfrac{530}{5} = 106 > 25$$ 此時標準差遠大於 $5$，故此選項不必然成立。不合。 * **選項 $(4)$：** 兩科之和不低於 $160$（滿足平均數限制）且差距不超過 $10$。反例：設 $x = 90, y = 80$（和為 $170 \ge 160$，差距為 $10 \le 10$）。此時平均數 $\mu = 82$。標準差平方為： $$\sigma^2 = \dfrac{(75-82)^2 + (80-82)^2 + (85-82)^2 + (90-82)^2 + (80-82)^2}{5} = \dfrac{49 + 4 + 9 + 64 + 4}{5} = \dfrac{130}{5} = 26 > 25$$ 此時標準差大於 $5$。不合。 * **選項 $(5)$：** 兩科的分數都介於 $80$ 與 $82$ 之間。此時 $x + y \ge 160$，平均數 $\mu$ 必介於 $80$ 與 $80.8$ 之間。由於 $x, y$ 的數值非常接近平均數，其偏差平方 $(x-\mu)^2 + (y-\mu)^2 \le 4$，其餘三項 $(75-\mu)^2 + (80-\mu)^2 + (85-\mu)^2$ 之和亦遠小於 $125$，故標準差必定不大於 $5$。符合。 故選 $(2)(5)$。