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94指考數學乙選填第5題詳解

📅 94 年 📝 指考數學乙 第 5 題 題型：選填 課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：$-\dfrac{1}{3}$

本題考點：向量內積、向量長度、空間向量與空間中的直線與平面、坐標化

題目

如圖所示設一正立方體的中心為 $O$，而 $A,B$ 為此正立方體同一面上的兩個對頂點，則 $\cos \angle AOB = \answerblank{}$。(以最簡分數表示)
094_07B_q05_fig01
向量內積向量長度空間向量與空間中的直線與平面
解題手法坐標化〔AI 推測〕

答案

答案

$-\dfrac{1}{3}$

詳解

詳解
因為以下推導直接由題目條件開始。 把立方體邊長取為 $1$，令其中心為 $O=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，同一面的對角頂點取 $A=(0,0,1),B=(1,1,1)$。則 $$\overset{\large\rightharpoonup}{OA}=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}),\; \overset{\large\rightharpoonup}{OB}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}).$$ 內積是 $-\frac{1}{4}$，兩向量長度平方都為 $\frac{3}{4}$。所以 $$\cos\angle AOB=\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=-\frac13.$$

題目來源：民國94年指考數學乙 第5題（來源PDF第4頁）

資料版本：2026-07-21（commit bde62541）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈94指考數學乙選填第5題詳解〉，資料版本 2026-07-21，https://twmath.com/questions/094_07B_q05.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。