- (1) 錯：拋物線的對稱軸與準線必須互相垂直。已知準線為 $x$ 軸（即 $y = 0$，斜率為 $0$），則對稱軸必為鉛直線（斜率不存在）。而 $x+y=0$ 的斜率為 $-1$，並不垂直於 $x$ 軸，因此不可能。 - (2) 對：焦點為 $(1,2)$，頂點為 $(1,1)$，兩點均在鉛直線 $x = 1$ 上。頂點到焦點的距離為 $2 - 1 = 1$，頂點到準線 $y=0$ 的距離亦為 $1$。頂點恰好為焦點與準線投影點的中點，故存在此拋物線。 - (3) 錯：依定義，拋物線上的點到焦點的距離必等於到準線的距離。對於點 $(3,3)$，其到焦點 $(2,2)$ 的距離為 $\sqrt{(3-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2}$，而到準線 $y=0$ 的距離為 $3$。因 $\sqrt{2} \neq 3$，故點 $(3,3)$ 不可能在該拋物線上。 - (4) 對：設焦點為 $(h, k)$，其中 $k > 0$（因為準線為 $y=0$，且點在第一、二象限，拋物線開口朝上）。依定義： $$\begin{cases} (h-3)^2 + (k-3)^2 = 3^2 \\ (h+3)^2 + (k-4)^2 = 4^2 \end{cases} \implies \begin{cases} h^2 - 6h + k^2 - 6k + 9 = 0 \\ h^2 + 6h + k^2 - 8k + 9 = 0 \end{cases}$$ 兩式相減得： $$12h - 2k = 0 \implies k = 6h$$ 代回第一式： $$h^2 - 6h + (6h)^2 - 6(6h) + 9 = 0 \implies 37h^2 - 42h + 9 = 0$$ 其判別式 $D = 42^2 - 4 \times 37 \times 9 = 1764 - 1332 = 432 > 0$。 可解得實數解 $h$（且有 $h > 0 \implies k > 0$ 成立的解），故確實存在此拋物線。 - (5) 對：準線為 $y=0$，對稱軸為 $x=0$，設焦點為 $(0, c)$ 且 $c > 0$。頂點為 $(0, c/2)$，拋物線方程式為： $$x^2 = 2c\left(y - \dfrac{c}{2}\right) = 2cy - c^2$$ 代入 $(3,3)$： $$9 = 6c - c^2 \implies c^2 - 6c + 9 = 0 \implies (c-3)^2 = 0 \implies c = 3$$ 此時拋物線為 $x^2 = 6y - 9$，滿足所有條件。 故選 $(2)(4)(5)$。