113學測數學B非選第20題詳解

如圖。由已知條件：$B$、$D$ 分別為長方體上某面各邊的中點，$C$ 為另一面某邊的中點。 1. 先求 $\overline{AB}$ 與 $\overline{AC}$： 因為 $B$ 和 $C$ 分別是各邊中點，且 $\overline{BC}=8$，由中點關係可推得 $\overline{AB}=\overline{AC}$。又從長方體的結構可知 $\angle BAC=90^\circ$（$\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 分別沿相鄰兩邊）。在等腰直角三角形 $ABC$ 中： $$\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=\overline{BC}^2=64,$$ 因為 $\overline{AB}=\overline{AC}$，所以 $2\overline{AB}^2=64$，$\overline{AB}^2=32$，$\overline{AB}=\overline{AC}=4\sqrt{2}$。 2. 求 $\overline{AD}$： 在直角三角形 $ADB$ 中，$\angle DAB=90^\circ$（$\overline{AD}$ 垂直於含 $\overline{AB}$ 的面），所以 $$\overline{AD}=\sqrt{\overline{BD}^2-\overline{AB}^2}=\sqrt{9^2-32}=\sqrt{81-32}=\sqrt{49}=7.$$ 3. 求四面體 $ABCD$ 的體積： 以 $\triangle ABC$ 為底面，$\overline{AD}$ 為高。因為 $\angle BAC=90^\circ$，所以 $$\triangle ABC\text{ 的面積}=\frac{1}{2}\times\overline{AB}\times\overline{AC}=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}\times4\sqrt{2}=16.$$ 四面體體積為 $$V_{ABCD}=\frac{1}{3}\times\triangle ABC\times\overline{AD}=\frac{1}{3}\times16\times7=\frac{112}{3}.$$ 4. 求以 $\triangle BCD$ 為底面時，頂點 $A$ 到底面的高度 $h$： 由第 $19$ 題，$\triangle BCD$ 的面積為 $4\sqrt{65}$。因為 $$V_{ABCD}=\frac{1}{3}\times\triangle BCD\times h,$$ 所以 $$h=\frac{3V_{ABCD}}{\triangle BCD}=\frac{3\times\frac{112}{3}}{4\sqrt{65}}=\frac{112}{4\sqrt{65}}=\frac{28}{\sqrt{65}}=\frac{28\sqrt{65}}{65}.$$ 故 $\overline{AD}=7$，四面體 $ABCD$ 的體積為 $\frac{112}{3}$，以 $\triangle BCD$ 為底面時的高度為 $\frac{28\sqrt{65}}{65}$。