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113_02B_q20
113 學測數學B 第 20 題
📅 113 年 📝 學測數學B 第 20 題 題型：非選 課綱：108課綱
題組
如圖所示，考慮長方體的石塊上某一頂點 $A$ 及包含點 $A$ 的一個面，令這個面的各邊中點分別為 $B,E,F,D$。此長方體上包含點 $B$ 的另一個面，令其各邊中點分別為 $B,C,H,G$。已知 $\overline{BC}=8$，$\overline{BD}=\overline{DC}=9$。現將此石塊截去八個角，使得每個截角的截面恰通過該截角之三鄰邊的中點。根據上述，試回答下列問題。
試求 $\overline{AD}$ 的長度與四面體 $ABCD$ 的體積，並求此四面體以 $\triangle BCD$ 為底面時，頂點 $A$ 到底面的高度。（角錐體積 $=\dfrac{\text{底面積}\times\text{高}}{3}$）（非選擇題，$8$ 分）
題目附圖
題目附圖
空間幾何空間向量與空間中的直線與平面
解題手法公式代入〔AI 推測〕
答案

$\overline{AD}=7$, 體積 $\dfrac{112}{3}$，高度 $\dfrac{28\sqrt{65}}{65}$

詳解
由參考解答，$\overline{AB}=\overline{AC}=4\sqrt2$，且 $\overline{BD}=\overline{DC}=9$，得 $\overline{AD}=\sqrt{9^2-(4\sqrt2)^2}=7$。四面體體積為 $\dfrac13\left(\dfrac12\cdot4\sqrt2\cdot4\sqrt2\cdot7\right)=\dfrac{112}{3}$。又 $\triangle BCD$ 面積為 $4\sqrt{65}$，故高度 $h=\dfrac{3V}{[BCD]}=\dfrac{112}{4\sqrt{65}}=\dfrac{28\sqrt{65}}{65}$。

題目來源：大學入學考試中心公開試題。

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。

來源：學測數學B · 題號 20 · schema 1.0.0

建置時間：2026-06-27 16:14