92 指考數學乙第 15 題

Question

題組
下圖為一單位正立方體 $ABCDEFGH$（即稜長 $1$）。
則四面體 $ACFH$ 的表面積為____。
上圖四面體 $ACFH$ 的體積為____。（以最簡分數表示）[※ 錐體體積等於底面積乘以高除以 $3$。]

Accepted Answer

答案：$\sqrt{12}$；$\dfrac{1}{3}$
G：四面體 $ACFH$ 的六個邊均為立方體的面對角線，長度為 $\sqrt{2}$，故為正四面體。每面面積為 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2})^2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，表面積為 $4	imes\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}=\sqrt{12}$。

H：取 $A(0,0,0)$，$C(1,1,0)$，$F(1,0,1)$，$H(0,1,1)$。
$$V=\dfrac{1}{6}\left|\det\begin{bmatrix}1&1&0\1&0&1\0&1&1\end{bmatrix}ight|=\dfr…