113學測數學B非選第19題詳解

如圖，在 $\triangle BCD$ 中，$\overline{BD}=\overline{DC}=9$，$\overline{BC}=8$，此為等腰三角形。 1. 取 $\overline{BC}$ 的中點 $P$，則 $\overline{BP}=4$。 2. 因為 $\triangle BCD$ 為等腰三角形（$\overline{BD}=\overline{DC}$），所以 $\overline{DP}\perp\overline{BC}$。 3. 在直角三角形 $BPD$ 中，由畢氏定理： $$\overline{DP}=\sqrt{\overline{BD}^2-\overline{BP}^2}=\sqrt{9^2-4^2}=\sqrt{81-16}=\sqrt{65}.$$ 4. 因此 $\triangle BCD$ 的面積為 $$\frac{1}{2}\times\overline{BC}\times\overline{DP}=\frac{1}{2}\times8\times\sqrt{65}=4\sqrt{65}.$$ 故 $\triangle BCD$ 的面積為 $4\sqrt{65}$。