111分科測驗數學甲非選第13題詳解

設水平面 $W$ 與 $A$ 的距離為 $x$（$0<x<15$），$W$ 與 $\overline{AP}$ 交於 $H$， 則 $\overline{AH}=x$。 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{AQ}\parallel\overset{\large\rightharpoonup}{DF}$ 且 $Q$ 在 $\overline{FC}$ 上， 由 $\triangle ABC$ 與 $\triangle ACQ$ 全等，可知 $W$ 與積木的截面為矩形。 在側面等腰梯形 $ACFD$ 中， $A$ 到 $\overline{CF}$ 的垂直距離（沿 $\overline{AP}$ 方向）為 $15$。 因為 $\overline{AD}$ 在平面 $BCFE$ 的投影與 $\overline{CF}$ 平行， 所以距 $A$ 為 $x$ 處的水平截面，其對應的截邊長度 $l$ 滿足相似關係 $$\frac{l}{10} = \frac{x}{15} \implies l = \frac{2x}{3}.$$ （上底 $30$，下底 $40$，上下底差 $10$ 對應 $15$ 的高度變化）。 因此截面矩形的長度為 $30 + l = 30 + \frac{2x}{3}$，寬度為 $l = \frac{2x}{3}$。 面積為 $$A(x) = \left(30+\frac{2x}{3}\right)\left(\frac{2x}{3}\right) = 20x + \frac{4}{9}x^2.$$ 得證。