113分科測驗數學甲非選第17題詳解

由 $L:y=3$，$\Gamma:y=f(x)=x^3-9x^2+15x-4$。 1. 求 $\Gamma$ 與 $L$ 的交點： 因為 $$f(x)-3=x^3-9x^2+15x-7=(x-1)^2(x-7)=0,$$ 所以交點為 $x=1$（切點）與 $x=7$。 2. 當 $1<x<7$ 時，因為 $f(x)-3=(x-1)^2(x-7)<0$， 所以 $f(x)<3$，即 $\Gamma$ 在 $L$ 下方。 所求面積為 $$\int_1^7 \bigl(3-f(x)\bigr)\,dx =-\int_1^7 (x-1)^2(x-7)\,dx.$$ 3. 令 $u=x-1$，則 $dx=du$，上限 $u=6$： \begin{align*} \int_1^7 (3-f(x))\,dx &=-\int_0^6 u^2(u-6)\,du \\ &=\int_0^6 (6u^2-u^3)\,du \\ &=\left[2u^3-\frac{u^4}{4}\right]_0^6 \\ &=2\cdot 216-\frac{1296}{4} \\ &=432-324=108. \end{align*} 因此 $\Gamma$ 與 $L$ 所圍有界區域的面積為 $108$。