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113_0XA_q17
113 分科測驗數學甲 第 17 題
📅 113 年
📝 分科測驗數學甲
第 17 題
題型：非選
課綱：108課綱
題組
坐標平面上，設 $\Gamma$ 為三次函數 $f(x)=x^3-9x^2+15x-4$ 的函數圖形。根據上述，試回答下列問題。
承 $16$，試求 $\Gamma$ 和 $L$ 所圍成有界區域的面積。（非選擇題，$6$ 分）
微積分
微積分
答案
$108$
詳解
由 $L:y=3$，有 $f(x)-3=x^3-9x^2+15x-7=(x-1)^2(x-7)$。交點為 $x=1$（切點）與 $x=7$。在 $1\le x\le 7$ 上，$f(x)-3\le 0$，故面積為 $$\int_1^7 (3-f(x))\,dx=\int_1^7 -(x-1)^2(x-7)\,dx.$$ 令 $u=x-1$，則上限為 $6$，積分為 $$\int_0^6 (6u^2-u^3)\,du=\left[2u^3-\dfrac{u^4}{4}\right]_0^6=432-324=108.$$
題目來源：
大學入學考試中心公開試題。
解析狀態：
本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。