114分科測驗數學乙單選第5題詳解

1. 因為新舊兩組資料的 $x$ 值只是重新配對、集合完全相同，$y$ 值也是如此，所以兩組的平均數相同： $$\bar{x}=\dfrac{3+3+3+4+5+6+8+8}{8}=5,\;\bar{y}=\dfrac{2+3+4+5+7+7+8+12}{8}=6.$$ 2. 因為迴歸直線必通過 $(\bar{x},\bar{y})$，所以新舊兩條直線都通過 $(5,6)$，於是 $b=6-5m$。這代表 $m$ 與 $b$ 必定一增一減，選項 $(2)$ 與 $(4)$ 不可能成立。 3. 因為 $x$ 的集合沒變，所以 $S_{xx}=\sum_{i=1}^{8}(x_i-5)^2=32$ 也沒變，斜率的變化只看 $S_{xy}$。 4. 計算新資料的 $S_{xy}$：$x$ 的偏差依序為 $-2,-2,-2,-1,0,1,3,3$，$y$ 的偏差依序為 $-4,-3,-2,-1,1,1,2,6$，所以 $$S_{xy}=8+6+4+1+0+1+6+18=44.$$ 5. 因此新的斜率為 $$m=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}=\dfrac{44}{32}=\dfrac{11}{8},$$ 而 $\frac{11}{8}=\frac{5}{4}+\frac{1}{8}>\frac{5}{4}$。 6. 代回 $b=6-5m$，所以 $b=6-\frac{55}{8}=-\frac{7}{8}<-\frac{1}{4}$。 故 $m>\frac{5}{4}$ 且 $b<-\frac{1}{4}$，選 $(3)$。