115學測數學B非選第19題詳解

已知甲星軌跡為逆時鐘旋轉 $90^\circ$ 從起點 $(8,0)$ 到終點 $(0,0)$ 的圓弧，且 $L:y=x-8$。 設圓心 $P=(a,b)$。因為起點和終點都在圓上，$P$ 到兩點等距： $$(a-8)^2+b^2=a^2+b^2$$ 得 $-16a+64=0$，$a=4$。 起點 $(8,0)$ 繞 $P=(4,b)$ 逆時鐘轉 $90^\circ$ 到達 $(0,0)$。向量 $(8-4,0-b)=(4,-b)$ 逆時鐘轉 $90^\circ$ 後為 $(b,4)$。該向量應為 $(0-4,0-b)=(-4,-b)$。比較得 $(b,4)=(-4,-b)$，所以 $b=-4$。驗算 $P$ 在 $L$ 上：$-4=4-8=-4$，成立。 因此半徑平方為 $(8-4)^2+(0-(-4))^2=16+16=32$，圓方程式為 $(x-4)^2+(y+4)^2=32$。