115 學測數學B 第 19 題

Question

令 $L$ 為通過點 $(8,0)$ 且斜率為 $1$ 的直線。試說明點 $P$ 在 $L$ 上，並求甲星軌跡所在的圓方程式。

Accepted Answer

答案：$(x-4)^2+(y+4)^2=32$
設 $P=(a,b)$。由兩端點等距得 $a=4$。又從 $(8,0)$ 繞 $P$ 逆時鐘旋轉 $90^\circ$ 到 $(0,0)$，故 $(0-a,0-b)=(-b,8-a)$。代入 $a=4$ 得 $b=-4$，所以 $P=(4,-4)$。直線 $L$ 為 $y=x-8$，點 $P$ 滿足 $-4=4-8$，故 $P$ 在 $L$ 上。半徑平方為 $(8-4)^2+(0+4)^2=32$，圓方程式為 $(x-4)^2+(y+4)^2=32$。