83大學聯考數學（自然組）單選第9題詳解

$x=1$ 時 $\log_a 1=0$ 且 $2(1-1)=0$，故 $x=1$ 恆為一解。 $a>1$ 時 $y=\log_a x$ 凹口向下、$y=2(x-1)$ 是直線。因為方程式僅有一解，所以兩圖形必在 $x=1$ 處相切。 $y=\log_a x$ 的導函數為 $y'=\frac{1}{x\ln a}$，在 $x=1$ 處的切線斜率為 $\frac{1}{\ln a}$。直線斜率為 $2$，由相切條件得 $$\dfrac{1}{\ln a}=2 \implies \ln a=\dfrac{1}{2} \implies a=\sqrt{e}$$ 故選 $(5)$。