87大學聯考數學（自然組）單選第3題詳解

由圖可知，$X$ 與 $Y$ 的關係為一條通過點 $(1, 1)$ 與 $(3, 2)$ 的直線。 直線的斜率為： $$m = \dfrac{2-1}{3-1} = \dfrac{1}{2}$$ 利用點斜式，直線方程式為： $$Y - 1 = \dfrac{1}{2}(X - 1) \implies Y = \dfrac{1}{2}X + \dfrac{1}{2}$$ 將 $X = \log_{10}x$ 與 $Y = \log_{10}y$ 代回，得： $$\log_{10}y = \dfrac{1}{2}\log_{10}x + \dfrac{1}{2}$$ $$\log_{10}y = \log_{10}x^{1/2} + \log_{10}10^{1/2}$$ $$\log_{10}y = \log_{10}\left(\sqrt{10x}\right)$$ 因此可得： $$y = \sqrt{10x} \implies y^2 = 10x$$ 由於真數必須大於 $0$，故限制條件為 $x > 0$ 且 $y > 0$。 這在平面上表示拋物線在第一象限的一部分，故選 $(2)$。