詳解
解法一（圖形觀察）：
作 $y=\sin x$ 在 $0<x<2\pi$ 的圖形。由圖可知，在此區間內能通過原點的切線只有一條，因此答案為 $(2)$。
解法二（切線方程）：
設切點為 $(\alpha,\sin\alpha)$，其中 $0<\alpha<2\pi$。因為 $y'=\cos x$，所以切線斜率為 $\cos\alpha$，切線方程式為
$$y-\sin\alpha=\cos\alpha(x-\alpha).$$
若切線通過原點 $(0,0)$，代入得
$$-\sin\alpha=-\alpha\cos\alpha,$$
即
$$\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha.$$
判斷是否有解，等同於判斷 $y=x$ 與 $y=\tan x$ 在 $0<x<2\pi$ 中的交點個數。由圖可知只有一個交點，因此只有一條切線會通過原點，故選 $(2)$。
解析圖：y=sin x 與過原點切線示意
解析圖：y=x 與 y=tan x 交點示意
解法一附圖
解法二附圖