83學測數學多選第10題詳解

因為每個方程式的漸近線、開口方向或單調性不同，所以逐項和圖 4 的形狀比較： 選項 $(1)$：$y=\left(\frac12\right)^x$ 是遞減且恆正的指數曲線，圖 4 可出現此形狀。 選項 $(2)$：$y=\log_2x$ 定義域為 $x>0$，遞增且以 $y$ 軸為漸近線，圖 4 可出現此形狀。 選項 $(3)$：$y=\cot x$ 在 $x=0$ 有垂直漸近線，且各分支遞減；圖 4 中相應分支的漸近線位置與單調性不符，所以不可能。 選項 $(4)$：整理得 $y=\frac56x^2+\frac23x-\frac12$，是開口向上的拋物線，圖 4 可出現此形狀。 選項 $(5)$：配方得 $$(x+2)^2-(y+3)^2=5,$$ 這是中心 $(-2,-3)$、左右開口的雙曲線；圖 4 沒有相應的兩支與漸近線配置，所以不可能。 故不可能的是選項 $(3)$、$(5)$。