83大學聯考數學（社會組）多選第4題詳解

1. 原方程式為 $$y^2-2ky-kx^2-4x+6=0.$$ 先配方： $$y^2-2ky=(y-k)^2-k^2,$$ $$-kx^2-4x=-k\left(x^2+\dfrac{4}{k}x\right)=-k\left(x+\dfrac{2}{k}\right)^2+\dfrac{4}{k}.$$ 所以 $$(y-k)^2-k\left(x+\dfrac{2}{k}\right)^2=k^2-6-\dfrac{4}{k}.$$ 2. 若圖形為貫軸與 $x$ 軸平行之雙曲線，需 $x$ 項在標準式中為正，因此 $k>0$。將上式改寫為 $$k\left(x+\dfrac{2}{k}\right)^2-(y-k)^2=-k^2+6+\dfrac{4}{k}.$$ 右端須大於 $0$： $$-k^2+6+\dfrac{4}{k}>0.$$ 因 $k>0$，同乘以 $k$ 得 $$-k^3+6k+4>0 \iff k^3-6k-4<0.$$ 又 $$k^3-6k-4=(k+2)(k^2-2k-2),$$ 其根為 $-2,\ 1-\sqrt{3},\ 1+\sqrt{3}$。配合 $k>0$，得 $$0<k<1+\sqrt{3}.$$ 故答案為選項 $(2)$。