93指考數學乙單選第2題詳解

設 $\overline{AB} = L$（定值）。 由 $\overline{AC} : \overline{CB} = 2 : 1$ 知 $C = \dfrac{1}{3}A + \dfrac{2}{3}B$。 令 $A(0, y)$、$B(x, 0)$，則 $x^2 + y^2 = L^2$。 $$C = (\frac{2x}{3},\ \frac{y}{3})$$ 令 $X = \dfrac{2x}{3}$、$Y = \dfrac{y}{3}$，則 $x = \dfrac{3X}{2}$、$y = 3Y$。 代入 $x^2 + y^2 = L^2$： $$\frac{9X^2}{4} + 9Y^2 = L^2$$ $$\frac{X^2}{\frac{4L^2}{9}} + \frac{Y^2}{\frac{L^2}{9}} = 1$$ 此為橢圓的標準式，故 $C$ 點的軌跡為一橢圓，選 $(1)$。