84學測數學選填第19題詳解

設 $t = \sin x + \cos x$。利用三角函數疊合公式： $$t = \sqrt{2} \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos x\right) = \sqrt{2} \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$$ 因為 $x$ 為任意實數，正弦函數的值域為 $[-1, 1]$，故 $t$ 的值域範圍為： $$t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$ 原函數 $f(x)$ 可表示為以 $t$ 為自變數的二次函數： $$g(t) = t^2 + 4t, \ \ t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$ 將二次式進行配方： $$g(t) = (t + 2)^2 - 4$$ 這是一個開口向上的拋物線，其頂點對稱軸位於 $t = -2$ 處。 因為自變數的限制範圍 $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ 完全位於對稱軸 $t = -2$ 的右側，故在此區間內，二次函數 $g(t)$ 隨著 $t$ 的增加而單調遞增。 因此，最小值發生在區間的左端點，即 $t = -\sqrt{2}$ 處： $$\text{最小值} = g(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^2 + 4(-\sqrt{2}) = 2 - 4\sqrt{2}$$ 故 $f(x)$ 的最小值為 $2 - 4\sqrt{2}$。