84學測數學選填第20題詳解

因為 $xy$ 平面為鏡面，點 $P(1, 2, 1)$ 落在 $z > 0$ 的上半空間。 光線從點 $P$ 出發射向原點 $O(0, 0, 0)$ 進行反射。根據光學反射定律，反射光線也會位於 $z > 0$ 的上半空間，其射線的「反向延長線」將會通過 $P$ 點對於鏡面 $xy$ 平面的對稱點 $P'$： $$P' = (1, 2, -1)$$ 因此，反射光線的出發方向向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 可以由向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{P'O}$（從對稱點射向原點）來決定： $$\overset{\large\rightharpoonup}{v} = O - P' = (-1, -2, 1)$$ 計算此方向向量的長度： $$|\overset{\large\rightharpoonup}{v}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$$ 這正好與入射段 $\overline{PO}$ 的長度相等： $$\overline{PO} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$$ 題目規定反射光線上的點 $R$ 滿足 $\overline{OR} = 2\overline{PO} = 2\sqrt{6}$。因為點 $R$ 位於自原點 $O$ 出發、方向為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v} = (-1, -2, 1)$ 的射線上，其坐標即為該方向向量的 $2$ 倍： $$R = 2 \overset{\large\rightharpoonup}{v} = 2(-1, -2, 1) = (-2, -4, 2)$$ 因此 $R$ 點的坐標為 $(-2, -4, 2)$。