設大圓與小圓的半徑分別為 $R$ 與 $r$。依圓面積公式： - $\pi R^2 = 75\pi \implies R = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ - $\pi r^2 = 27\pi \implies r = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ 設點 $P(x, y)$ 在第一象限，故 $x > 0$ 且 $y > 0$。點 $P$ 到 $X$ 軸的距離為其 $y$ 坐標值，即 $d(P, X\text{-axis}) = y$。 因為 $P$ 到大圓與小圓的距離相等，說明 $P$ 點的向徑 $OP$（點到原點距離）介於小圓與大圓半徑之間： - $P$ 點到小圓的距離為 $OP - r$ - $P$ 點到大圓的距離為 $R - OP$ 這兩距離相等，有： $$OP - r = R - OP \implies 2 OP = R + r \implies OP = \dfrac{5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$ 此時點 $P$ 到兩圓的距離為： $$d(P, \text{圓}) = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$$ 依題意，此距離等於點 $P$ 到 $X$ 軸的距離，故 $y = \sqrt{3}$。 利用直角三角形關係 $x^2 + y^2 = OP^2$： $$x^2 + (\sqrt{3})^2 = (4\sqrt{3})^2 \implies x^2 + 3 = 48 \implies x^2 = 45$$ 因為點 $P$ 落在第一象限，所以 $x = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$。則點 $P$ 的坐標為 $\left(3\sqrt{5}, \sqrt{3}\right)$。