86學測數學選填第14題詳解

設兩平面 $2x - y + 2z = 6$ 與 $3x - 4z = 2$ 的法向量分別為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1 = (2, -1, 2) \ \text{且} \ \overset{\large\rightharpoonup}{n}_2 = (3, 0, -4)$$ 其向量長度為 $\left\|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1\right\| = \sqrt{2^2+(-1)^2+2^2} = 3$，$\left\|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2\right\| = \sqrt{3^2+0^2+(-4)^2} = 5$。 若兩平年的夾角為 $\theta$（銳角），則其夾角餘弦值為： $$\cos \theta = \dfrac{|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1 \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{n}_2|}{\left\|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1\right\| \left\|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2\right\|} = \dfrac{|2 \times 3 + (-1) \times 0 + 2 \times (-4)|}{3 \times 5} = \dfrac{|6 - 8|}{15} = \dfrac{2}{15} \approx 0.1333$$ 比對常見餘弦值，$\cos 82^\circ \approx 0.1392$，$\cos 83^\circ \approx 0.1219$，其差值為 $|0.1333 - 0.1392| = 0.0059$ 比 $|0.1333 - 0.1219| = 0.0114$ 小。因此，$\theta$ 最接近的整數度數為 $82^\circ$。