88大學聯考數學（自然組）單選第2題詳解

1. 因為熱氣球的高度維持不變，所以設熱氣球的高度為 $h$，某甲與熱氣球的水平距離為 $x$，仰角為 $\theta$。則 $x = h \cot \theta$。 2. 因為仰角 $\theta$ 以等速遞減，即 $\frac{d\theta}{dt} = -c$ (其中 $c > 0$ 為常數)。 將 $x$ 對時間 $t$ 求導： $\frac{dx}{dt} = -h \csc^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dt} = \frac{c \cdot h}{\sin^2 \theta}$。 當熱氣球離某甲飛去時，$\theta$ 逐漸變小（介於 $0^\circ$ 與 $90^\circ$ 之間），因此 $\sin \theta$ 變小，導致分母 $\sin^2 \theta$ 變小，從而使速度 $\frac{dx}{dt}$ 變大。 這表示氣球正以「加速離某甲飛去」。