93指考數學甲多選第5題詳解

因 $f(x)$ 除了 $x=2,4,6$ 外皆為正，且 $f(2)=f(4)=f(6)=0$，所以這三個零點都是偶數重根，可寫成 $$f(x)=(x-2)^2(x-4)^2(x-6)^2Q(x).$$ $(1)$：因此 $f(x)$ 的次數至少為 $6$，所以對。 $(2)$：整係數方程若有虛根則虛根成雙，可知 $f(x)$ 的次數必為偶數次，所以錯。 $(3)$：因 $Q(x)$ 未知，只能確定 $f(1)>0$，無法判斷 $f(1)$ 為奇數或偶數，所以錯。 $(4)$：在 $x=4$ 有水平切線，故 $f'(4)=0$，所以對。 故選 $(1)(4)$。