88大學聯考數學（社會組）非選第12題詳解

1. 設每個小方格的邊長為 $1$。由圖形可知，點 $A$ 與 圓心 $O$ 在網格上的水平距離為 $4$、垂直距離亦為 $4$。 因此： $$\overline{AO} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$$ 圓 $O$ 的半徑為： $$\overline{OC} = \overline{OD} = \dfrac{1}{2}\overline{AO} = 2\sqrt{2}$$ 在直角三角形 $\Delta AOC$ 中，因為 $\overline{AC}$ 切圓 $O$ 於 $C$，所以 $\overline{AC} \perp \overline{OC}$。 且斜邊 $\overline{AO}$ 與一股 $\overline{OC}$ 長度比為： $$\overline{AO} : \overline{OC} = 4\sqrt{2} : 2\sqrt{2} = 2:1$$ 故 $\angle AOC = 60^\circ$。 同理，在直角三角形 $\Delta BOD$ 中，$\angle BOD = 60^\circ$。 因此： $$\angle COD = 180^\circ - \angle AOC - \angle BOD = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \ \left(\text{或 } \dfrac{\pi}{3} \text{ 弧度}\right)$$ 2. 由畢氏定理，切線段 $\overline{AC}$ 長為： $$\overline{AC} = \sqrt{\overline{AO}^2 - \overline{OC}^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 - 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$ 由對稱性可知，另一切線段 $\overline{DB} = \overline{AC} = 2\sqrt{6}$。 圓弧 $\widehat{CD}$ 的長度為： $$\widehat{CD} = \overline{OC} \times \angle COD \text{ (弧度)} = 2\sqrt{2} \times \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\pi$$ 故線段 $\overline{AC}$、圓弧 $\widehat{CD}$ 及線段 $\overline{DB}$ 的長度之和為： $$\overline{AC} + \widehat{CD} + \overline{DB} = 2\sqrt{6} + \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\pi + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} + \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\pi$$