88大學聯考數學（社會組）非選第13題詳解

設等腰直角三角形 $\Delta ABC$ 的腰長 $\overline{AB} = \overline{BC} = x$，等腰直角三角形 $\Delta CDE$ 的腰長 $\overline{DE} = \overline{CD} = y$。 則這兩個三角形的斜邊長分別為 $\overline{AC} = \sqrt{2}x$ 且 $\overline{CE} = \sqrt{2}y$。 這兩個三角形的周長和即為鐵絲總長 $4$ 公尺，故： $$(2+\sqrt{2})x + (2+\sqrt{2})y = 4 \implies (2+\sqrt{2})(x+y) = 4$$ 解得 $x+y$ 為： $$x+y = \dfrac{4}{2+\sqrt{2}} = \dfrac{4(2-\sqrt{2})}{4-2} = 2(2-\sqrt{2}) = 4-2\sqrt{2}$$ 1. 觀察圖形，梯形 $ABDE$ 的上底為 $\overline{DE} = y$，下底為 $\overline{AB} = x$，高為 $\overline{BD} = \overline{BC} + \overline{CD} = x+y$。 其面積 $S_{ABDE}$ 公式為： $$S_{ABDE} = \dfrac{1}{2}(\overline{AB} + \overline{DE}) \times \overline{BD} = \dfrac{1}{2}(x+y)(x+y) = \dfrac{1}{2}(x+y)^2$$ 因為 $x+y = 4-2\sqrt{2}$ 是一個與點 $C$ 位置無關的常數， 所以梯形 $ABDE$ 的面積亦為定值，即面積與 $C$ 點的位置無關。 2. 將 $x+y = 4-2\sqrt{2}$ 代入面積公式計算： $$S_{ABDE} = \dfrac{1}{2}(4-2\sqrt{2})^2 = \dfrac{1}{2}(16 - 16\sqrt{2} + 8) = \dfrac{1}{2}(24 - 16\sqrt{2}) = 12 - 8\sqrt{2} \text{ (平方公尺)}$$