90學測數學多選第7題詳解

設踢進得 $16$ 分有 $x$ 次，罰踢得 $6$ 分有 $y$ 次，其中 $x, y \in \mathbb{N}_0$。總得分為： $$16x + 6y = 2(8x + 3y)$$ 因為總得分必為偶數，所以選項 $(4)$ 奇數 $103$ 不可能出現。 對於其餘偶數選項進行檢驗： $(1)$ 錯誤：若 $16x + 6y = 26 \implies 8x + 3y = 13$。由於 $x$ 只能為 $0$ 或 $1$，代入後均無整數解 $y$。 $(2)$ 正確：若 $16x + 6y = 28 \implies 8x + 3y = 14$，有非負整數解 $x = 1, y = 2$。 $(3)$ 正確：若 $16x + 6y = 82 \implies 8x + 3y = 41$，有非負整數解 $x = 1, y = 11$。 $(5)$ 正確：若 $16x + 6y = 284 \implies 8x + 3y = 142$，有非負整數解 $x = 2, y = 42$。 故正確選項為 $(2)(3)(5)$。