$(1)$ 正確：由向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA} = (150, 200)$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{CB} = (146 - (-4), 203 - 3) = (150, 200)$ 可知 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA} = \overset{\large\rightharpoonup}{CB}$，即對邊平行且等長，故 $ABCO$ 是平行四邊形。 $(2)$ 正確：由向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC} = (-4, 3)$，計算與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 的內積為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OA} = -4(150) + 3(200) = 0 \implies \overset{\large\rightharpoonup}{OC} \perp \overset{\large\rightharpoonup}{OA}$。鄰邊垂直的平行四邊形即為長方形。 $(3)$ 錯誤：鄰邊長 $\overline{OA} = \sqrt{150^2 + 200^2} = 250$ 與 $\overline{OC} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5$ 不相等，故其兩對角線不互相垂直。 $(4)$ 錯誤：對角線長度為 $\overline{AC} = \sqrt{(-154)^2 + (-197)^2} = \sqrt{62525} < \sqrt{63001} = 251$。 $(5)$ 正確：長方形面積為 $\overline{OA} \times \overline{OC} = 250 \times 5 = 1250$。 故正確選項為 $(1)(2)(5)$。