設 $A(a, 0)$，其中 $a > 0$；$B(0, b)$，其中 $b > 0$。 給定 $P(2, 1)$，我們寫出向量： $$\overset{\large\rightharpoonup}{PA} = (a - 2, -1),\text{ } \overset{\large\rightharpoonup}{PB} = (-2, b - 1)$$ 因為 $\overline{PA} \perp \overline{PB}$，兩向量的內積為 $0$： $$\overset{\large\rightharpoonup}{PA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PB} = (a - 2)(-2) + (-1)(b - 1) = 0$$ $$-2a + 4 - b + 1 = 0 \implies 2a + b = 5$$ 我們要求 $\triangle OAB$ 的面積，其面積為 $S = \dfrac{1}{2}ab$。根據算幾不等式： $$\dfrac{2a + b}{2} \ge \sqrt{2ab}$$ 將 $2a+b=5$ 代入： $$\dfrac{5}{2} \ge \sqrt{2ab} \implies \dfrac{25}{4} \ge 2ab \implies ab \le \dfrac{25}{8}$$ 因此，面積的最大值為： $$S = \dfrac{1}{2}ab \le \dfrac{25}{16}$$ 當等號成立時， $2a = b = \dfrac{5}{2} \implies a = \dfrac{5}{4}$ 且 $b = \dfrac{5}{2}$，此時 $A, B$ 皆落在正半軸，符合題意。 故最大可能面積為 $\dfrac{25}{16}$。