90學測數學選填第17題詳解

自點 $C$ 向 $x$ 軸作垂線交於 $M$。設 $\overline{CM} = h$。根據正切函數定義： $$\tan A = \dfrac{\overline{CM}}{\overline{MA}} = \dfrac{8}{9}$$ $$\tan B = \dfrac{\overline{CM}}{\overline{MB}} = \dfrac{8}{3}$$ 令 $\overline{CM} = 8k$，可得 $\overline{MB} = 3k$，$\overline{MA} = 9k$。 因為 $A(2,0)$， $B(-4,0)$，其距離 $\overline{AB} = 6$，且 $M$ 在線段 $\overline{AB}$ 上，故： $$\overline{MA} + \overline{MB} = 9k + 3k = 12k = 6 \implies k = \dfrac{1}{2}$$ 由此得： $$\overline{CM} = 8\left(\dfrac{1}{2}\right) = 4$$ $$\overline{MB} = 3\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{2}$$ 由於 $B$ 坐標為 $(-4, 0)$ 且 $M$ 在其右側，得 $M$ 坐標為 $\left(-4+\dfrac{3}{2}, 0\right) = \left(-\dfrac{5}{2}, 0\right)$，故 $C$ 坐標為 $\left(-\dfrac{5}{2}, 4\right)$。 砲台 $D\left(\dfrac{5}{2},-8\right)$ 至目標 $C$ 的距離為： $$\overline{CD} = \sqrt{\left(-\dfrac{5}{2} - \dfrac{5}{2}\right)^2 + (4 - (-8))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = 13$$