設橢圓中心為原點 $O(0,0)$。因長軸落在 $x$ 軸上且長度為 $4$，短軸落在 $y$ 軸上且長度為 $2$，可得 $a=2$，$b=1$，其方程式為： $$\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$$ 通過中心 $O$ 且與 $x$ 軸夾角為 $45^\circ$ 的直線，在第一象限的方程式為 $y = x$（其中 $x > 0$）。將其代入橢圓方程式得： $$\dfrac{x^2}{4} + x^2 = 1 \implies \dfrac{5}{4}x^2 = 1 \implies x^2 = \dfrac{4}{5} = 0.8$$ 因為 $P$ 點在直線上，可設其坐標為 $(x, x)$。交點 $P$ 與中心 $O$ 的距離為： $$\overline{OP} = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2x^2} = \sqrt{2 \times 0.8} = \sqrt{1.6}$$ 故選 $(2)$。