91學測數學多選第9題詳解

原方程組為： $$\begin{cases} 2x+y+3z=0 & \cdots\cdots \text{（式1）} \\ 4x+3y+6z=0 & \cdots\cdots \text{（式2）} \end{cases}$$ 此為兩個通過原點的平面之交線。利用消去法，由式（式2）減去 $2$ 倍的式（式1）可得 $y = 0$。 將 $y = 0$ 代回式（式1）可得 $2x + 3z = 0$。此方程組的解集合為一通過原點的直線，其參數式可表示為： $$\begin{cases} x = -\dfrac{3}{2}t \\ y = 0 \\ z = t \end{cases}$$ 其中 $t \in \mathbb{R}$。 逐一檢驗選項： $(1)$ 錯誤：$y=0$ 在三維空間中代表一個平面，非直線。 $(2)$ 正確：由原方程組化簡所得即為此兩式，代表相同的直線。 $(3)$ 錯誤：$x=y=0$ 代表 $z$ 軸，與原解集合直線不同。 $(4)$ 正確：第一式為原式（式1）除以 $2$，第二式與式（式2）相同，故解相同。 $(5)$ 正確：此方程組的第二式為原式（式1）+（式2）。由於式（式1）與式（式1）+（式2） 的法向量不平行，代表的交線仍相同。 故選 $(2)(4)(5)$。