91學測數學多選第11題詳解

我們可以分別計算甲與乙的本利和： 1. 甲每個月存入 $1000$ 元，共存入 $12$ 次： $89$ 年 $7$ 月 $1$ 日存入的 $1000$ 元，到 $90$ 年 $7$ 月 $1$ 日提出時共計息 $12$ 個月，本利和為 $1000(1.005)^{12}$ 元。 $89$ 年 $8$ 月 $1$ 日存入的 $1000$ 元，計息 $11$ 個月，本利和為 $1000(1.005)^{11}$ 元。 依此類推，最後一次在 $90$ 年 $6$ 月 $1$ 日存入的 $1000$ 元，計息 $1$ 個月，本利和為 $1000(1.005)^1$ 元。 故甲的總本利和為： $$A = 1000(1.005)^1 + 1000(1.005)^2 + \cdots + 1000(1.005)^{12} = \sum_{k=1}^{12} 1000(1.005)^k$$ 選項 $(2)$ 正確。 2. 乙每單月存入 $2000$ 元，共存入 $6$ 次： $89$ 年 $7$ 月 $1$ 日存入的 $2000$ 元，計息 $12$ 個月，本利和為 $2000(1.005)^{12}$ 元。 $89$ 年 $9$ 月 $1$ 日存入的 $2000$ 元，計息 $10$ 個月，本利和為 $2000(1.005)^{10}$ 元。 依此類推，最後一次在 $90$ 年 $5$ 月 $1$ 日存入的 $2000$ 元，計息 $2$ 個月，本利和為 $2000(1.005)^2$ 元。 故乙的總本利和為： $$B = 2000(1.005)^2 + 2000(1.005)^4 + \cdots + 2000(1.005)^{12} = \sum_{k=1}^{6} 2000(1.005)^{2k}$$ 選項 $(3)$ 正確。 3. 比較 $A$ 與 $B$ 的大小： $$B - A = \sum_{k=1}^{6} 2000(1.005)^{2k} - \sum_{k=1}^{12} 1000(1.005)^k$$ $$= \left[ 1000(1.005)^2 - 1000(1.005)^1 \right] + \left[ 1000(1.005)^4 - 1000(1.005)^3 \right] + \cdots + \left[ 1000(1.005)^{12} - 1000(1.005)^{11} \right]$$ $$= 1000(1.005)(1.005 - 1) + 1000(1.005)^3(1.005 - 1) + \cdots + 1000(1.005)^{11}(1.005 - 1)$$ 由於每一項皆大於 $0$，故 $B - A > 0 \implies B > A$。選項 $(1)$ 正確。 4. 估計 $A$ 與 $B$ 的上限： 因為 $1.005 < 1.005^2 < \cdots < 1.005^{12}$，所以 $A < 12 \times 1000(1.005)^{12} = 12000(1.005)^{12}$。選項 $(4)$ 正確。 同理，$B < 6 \times 2000(1.005)^{12} = 12000(1.005)^{12}$。選項 $(5)$ 正確。 故選 $(1)(2)(3)(4)(5)$。