91學測數學選填第18題詳解

設山底為 $P$，山頂為 $Q$，山高為 $h = \overline{PQ}$。 1. 考慮直角三角形 $\Delta QAP$：由山頂 $Q$ 對 $A$ 的仰角為 $45^\circ$，可得： $$\overline{PA} = \dfrac{h}{\tan 45^\circ} = h$$ 2. 在水平面上，考慮 $P$、 $A$、 $B$ 三點組成的三角形 $\Delta PAB$： - $B$ 在 $A$ 的正東方，距離 $\overline{AB} = 600$ 公尺； - 自 $A$ 點測得山的方位為東偏北 $60^\circ$，故 $\angle PAB = 60^\circ$； - 自 $B$ 點測得山的方位為西偏北 $60^\circ$，故 $\angle PBA = 60^\circ$。 在 $\Delta PAB$ 中，$\angle APB = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$。因此 $\Delta PAB$ 為正三角形。 由此可得 $\overline{PA} = \overline{AB} = 600$ 公尺。 3. 結合前述 $\overline{PA} = h$，得山高 $h = 600$ 公尺。