91指考數學甲單選第1題詳解

設正立方體的邊長為 $x$。 依題意，選取的四個頂點兩兩距離為 $1$，代表這四點所構成的正四面體邊長為 $1$。 在正立方體中，此正四面體的邊長剛好為正立方體的面對角線長。 因此，$\sqrt{2}x = 1$，解得 $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 正立方體的體積為 $x^3 = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \dfrac{2\sqrt{2}}{8} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$。 故選 $(2)$。