91指考數學甲選填第9題詳解

令 $\angle OPQ = \theta$。因為物體作等速直線運動，且時間間隔均為一分鐘，所以兩段位移長度相同，即 $\overline{PQ} = \overline{QR} = a$。且已知 $\angle POQ = 90^\circ$，$\angle QOR = 30^\circ$。 在直角三角形 $\Delta OPQ$ 中，可得 $\overline{OQ} = a \sin \theta$。而在 $\Delta OQR$ 中，由正弦定理： $$\dfrac{\overline{QR}}{\sin 30^\circ} = \dfrac{\overline{OQ}}{\sin(60^\circ - \theta)}$$ 將 $\overline{QR} = a$ 與 $\overline{OQ} = a \sin \theta$ 代入上式整理： $$\dfrac{a}{\sin 30^\circ} = \dfrac{a \sin \theta}{\sin(60^\circ - \theta)} \implies \sin(60^\circ - \theta) = \sin 30^\circ \sin \theta = \dfrac{1}{2} \sin \theta$$ 利用正弦的差角公式展開： $$\sin 60^\circ \cos \theta - \cos 60^\circ \sin \theta = \dfrac{1}{2} \sin \theta \implies \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \dfrac{1}{2} \sin \theta = \dfrac{1}{2} \sin \theta$$ $$\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta = \sin \theta \implies \tan \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ 因此，求得： $$\tan^2(\angle OPQ) = \tan^2 \theta = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4}$$ 故答案為 $\dfrac{3}{4}$。