91指考數學乙選填第8題詳解

設鋼架的高度為 $h$。我們從頂部頂點 $A$ 以及底面對應的頂點 $E$ 的空間關係來解題： 1. 側面為正三角形且底面與頂面邊長皆為 $2$，因此鋼架的斜稜長 $\overline{AE} = 2$。 2. 由正射影性質，頂面正方形的頂點 $A$ 在底面的正投影點為 $A'$。由於頂面正方形邊長為 $2$，底面正八邊形邊長為 $2$，透過正射影幾何分析（如圖 $F_2$），頂點投影點 $A'$ 與正八邊形對角頂點 $E$ 在投影面上的距離為： $$\overline{A'E} = \sqrt{2}$$ 3. 鋼架高度 $h$ 即為空間中線段 $\overline{AA'}$ 的長度。在直角三角形 $\Delta AA'E$ 中，由畢氏定理： $$h^2 = \overline{AA'}^{\,2} = \overline{AE}^{\,2} - \overline{A'E}^{\,2}$$ $$h^2 = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2 \implies h = \sqrt{2}$$ 因此，此鋼架的高度為 $\sqrt{2}$ 單位，對應空格填入 $2$。